уравнений Максвелла получает определенное физическое содержание только тогда, когда имеется указание в каких явлениях можно наблюдать и эмпирически исследовать электромагнитное поле. Дело в том, что человек не может непосредственно воспринимать это поле (исключение составляют световые волны). Мы можем определить, течет ли ток в проводнике лишь по тепловым эффектам (нагрев проводника) или механическим проявлениям (отклонение стрелки амперметра). То есть мы можем заключить о наличии электромагнитного поля только по появлению, при определенных условиях, доступных форм энергии, доступных нашему восприятию. Ориентируясь на принцип сохранения энергии, можно сделать вывод о том, что возникновение или исчезновение известных нам форм энергии может происходить за счет преобразования некоторой иной формы энергии, которую называют энергией электромагнитного поля $(W)$.

Итак, получается, что введение энергии электромагнитного поля в виде:

в теорию Максвелла система соответствующих уравнений станет доступной к проверке экспериментально. Это происходит потому, что уравнения максвелловской системы определяют, каким образом изменяется электромагнитное поле со временем, а уравнение (1) дает возможность выяснить, в каких преобразованиях эти изменения выявляются.

Энергия электромагнитного поля

Найдем энергию ($\triangle W$), которую переносит электромагнитная волна через произвольную площадку $S$ (рис.1), которая находится в поле волны за небольшой промежуток времени $\triangle t$. Выстроим параллелепипед на основании площадки $S$, причем ребра параллелепипеда сделаем параллельными скорости распространения волны ($\overrightarrow{v}$) и равными $v\triangle t.$ В таком случае объем данного параллелепипеда равен:

где $\alpha $ - угол между нормалью $\overrightarrow{n}$ к площадке $S$ и направлением вектора скорости (рис.1).

Рисунок 1.

В том случае, если обозначить через $u$ энергию единицы объема поля (объемную плотность энергии), то получим:

При этом объемна плотность энергии электромагнитной волны - есть сумма энергии электрического поля и энергии магнитного поля:

Так как напряженности в электромагнитной волне связаны выражением:

следовательно, можно записать, что:

Учтем, что:

тогда выражение (3) можно переписать в виде:

Получаем, что энергия, проходящая через площадку $S$ в единицу времени может быть представлена как:

где $P_n$- проекция вектора Умова - Пойнтинга на направление нормали.

Закон сохранения энергии

Пусть вещество, в котором существует электромагнитное поле неподвижно. При изменении электромагнитного поля и течении тока в единице объема совершается элементарная работа ($\delta A^{vnesh}$), равная:

Выражение (10) рассматривается как постулат макроскопической теории электричества.

Работа $\delta A^{vnesh}$ расходуется на изменение внутренней энергии, минус теплота, которая уходит из единицы объема в результате теплопроводности (в принципе, можно допустить, что она равна нулю). Если в данном случае, под $u$ понимать плотность всей внутренней энергии, а не только ее электромагнитной части, то:

выражение (11) - закон сохранения энергии в электродинамики (теорема Умова - Пойнтинга). В интегральном виде закон сохранения энергии в электродинамике имеет вид:

где $V$ - произвольный объем, который ограничен замкнутой поверхностью $S$.

Пример 1

Задание: Вдоль цилиндрического провода радиусом r течет постоянный ток силы $I$. Покажите, что электромагнитная энергия, которая будет связана с проводником с током, будет выделяться на данном проводнике как тепло Джоуля.

Решение:

Магнитное поля провода с током $(H)$ обвивается вокруг провода на поверхности проводника оно равно:

Электрическое поле ($\overrightarrow{E}$) параллельно оси провода. Вектор Умова - Пойнтинга ($\overrightarrow{P}$) направлен внутрь провода перпендикулярно его боковой поверхности. Получается, что электромагнитная энергия втекает внутрь провода извне. Если длина провода равна $l$, то количество электромагнитной энергии ($\triangle W$), которая за $1 с$ поступает в провод равна:

\[\triangle W=P\cdot 2\pi rl=EH\cdot 2\pi rl=E\frac{1}{2}jr\cdot 2\pi rl=\pi r^2lEj=VEj\left(1.2\right),\]

где $V=\pi r^2l$ -- объем провода. В формуле (1.2) мы получили количество теплоты, которая выделяется при прохождении по проводнику электрического тока.

Ответ: Электромагнитная энергия поступает из окружающего пространства внутрь провода, затем выделяется как джоулево тепло.

Пример 2

Задание: Если $u$ - внутренняя энергия единицы объема среды, то $\delta A^{vnesh}=du$, или:

\[\frac{\partial u}{\partial t}=\overrightarrow{E}\dot{\overrightarrow{D}}+\overrightarrow{H}\dot{\overrightarrow{B}}+\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}\left(2.1\right),\]

покажите, что из уравнения (2.1) следует закон сохранения энергии для электромагнитного поля в дифференциальном виде.

Решение:

Для того чтобы преобразовать уравнение (2.1), используем уравнения Максвелла:

\ \

Правую часть уравнения (2.1) преобразуем к выражению:

\[\overrightarrow{E}\dot{\overrightarrow{D}}+\overrightarrow{H}\dot{\overrightarrow{B}}+\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\left(\dot{\overrightarrow{D}}+\overrightarrow{j}\right)+\overrightarrow{H}\dot{\overrightarrow{B}}=\overrightarrow{E}rot\overrightarrow{H}-\overrightarrow{H}rot\overrightarrow{E}\ \left(2.4\right).\]

Используем тождество:

\=-\overrightarrow{E}rot\overrightarrow{H}+\overrightarrow{H}rot\overrightarrow{E}\ \left(2.5\right).\]

Тогда выражение (2.4) предстанет в виде:

\[\overrightarrow{E}\dot{\overrightarrow{D}}+\overrightarrow{H}\dot{\overrightarrow{B}}+\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}=-div\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right]\left(2.6\right).\]

Значит, выражение (2.1) получит вид:

\[\frac{\partial u}{\partial t}+div\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right]=0\ \left(2.7\right),\]

где $\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right]=\overrightarrow{P}-\ $вектор Умова -- Пойнтинга.

Уравнение (2.7), есть закон сохранения энергии электромагнитного поля в дифференциальном виде.

Мы уже много раз показывали, что электромагнитное поле обладает энергией. Значит, распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии (подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии). Сама возможность обнаружения ЭМВ указывает на то, что они переносят энергию.

Для характеристики переносимой волной энергии русским ученым Н.А. Умовым были введены понятия о скорости и направлении движения энергии, о потоке энергии. Спустя десять лет после этого, в 1884 г., английский ученый Джон Пойнтинг описал процесс переноса энергии с помощью вектора плотности потока энергии .

Введем вектор - приращение плотности электромагнитной энергии, где сама величина w определяется интегралом:

Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей и электрического и магнитного полей:

Учитывая, что , получим, что плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинакова, т.е. . Поэтому

Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии – поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени :

Так как векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (рис. 6.8).

Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова–Пойнтинга :

Вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

В сферической электромагнитной волне, излучаемой ускоренно двигающимися зарядами, векторы направлены по параллелям, векторы - по меридианам, а поток энергии - по нормали (рис. 6.9).

Векторы Умова–Пойнтинга зависят от пространства и времени, так как от них зависят модули векторов напряженности электрического и магнитного полей. Поэтому часто пользуются параметром, называемым интенсивностью – модуль среднего значения вектора Умова–Пойнтинга:

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

Зависимость интенсивности излучения от направления называют диаграммой направленности. Такая диаграмма для линейного излучателя показана на рис. 6.10.

Как доказал Герц, диполь сильнее всего излучает в направлении перпендикулярном по отношению к собственному направлению.

Ускоренно двигающиеся заряды излучают электромагнитную энергию в окружающее пространство. Вектор направлен вдоль радиуса и убывает обратно пропорционально r 2 . Излучение максимально в направлении, перпендикулярном вектору , и отсутствует вдоль этого вектора. Поэтому диаграмма направленности диполя имеет вид двух симметричных лепестков, как показано на рис. 6.10.

Давление света

Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление ЭМВ объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля действию силы. Однако, значение этого давления ничтожно мало.

Давление света и электромагнитный импульс настолько малы, что непосредственное их измерение затруднительно. Так, зеркало, расположенное на расстоянии 1 м от источника света в миллион свечей (кандел), испытывает давление 10 - 7 Н/м 2 . Давление излучения Солнца на поверхность Земли равно 4,3×10 - 6 Н/м 2 , а общее давление излучения Солнца на Землю равно 6×10 8 Н, что в 10 13 раз меньше силы притяжения Солнца.

Световое давление было впервые обнаружено и измерено в 1899 г. в Москве русским ученым П.Н. Лебедевым (1866-1912). Его результаты, как и более точные измерения последующих исследователей, согласуются с теорией в пределах ошибок опыта - до 2 %.

На рис. 6.11 изображен прибор, с помощью которого было измерено давление света, – радиометр . Свет, отраженный посеребренной поверхностью каждой лопасти 2, 3, передает вдвое больший импульс по сравнению со светом, поглощенным зачерненной поверхностью 1, 4. Вследствие этого лопасти начинают вращаться по часовой стрелке.

где J – интенсивность света, K – коэффициент отражения.

Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой ЭМВ.

Давление света играет существенную роль в двух противоположных по масштабу областях явлений.

Так, например, гравитационное притяжение верхних слоев звезд к центру в значительной мере уравновешивается силой давления светового потока, идущего от центра звезды наружу. В атомных процессах существенной является отдача, испытываемая возбужденным атомом при излучении им света в силу малости массы атома. Световое давление может создавать ускорение атомов до , где g – ускорение свободного падения.

Впервые гипотеза о световом давлении была высказана в 1619 г. немецким ученым И. Кеплером (1571-1630) для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца (рис. 6.12).

Возможными областями физического применения светового давления могут служить процессы разделения смеси изотопов газов, ускорение микрочастиц и создание условий для протекания управляемой термоядерной реакции.

Электромагнитная масса и импульс

Существование давления ЭМВ приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс.

Выражая импульс как (поле в вакууме распространяется со скоростью света с ), получим

Это соотношение между массой и энергией ЭМП является универсальным законом природы, справедливым для любых тел независимо от их внутреннего строения.

Импульс электромагнитного поля, связанного с движущейся частицей, – электромагнитный импульс – оказался пропорциональным скорости частицы υ, что имеет место и в выражении для обычного импульса m υ, где m – инертная масса заряженной частицы. Поэтому коэффициент пропорциональности в полученном выражении для импульса называют электромагнитной массой :

где е – заряд движущейся частицы, а – ее радиус.

И даже если тело не обладает никакой иной массой, оказывается, что между импульсом и скоростью заряженной частицы существует соотношение:

Это соотношение как бы раскрывает происхождение массы – это электродинамический эффект. Движение заряженной частицы сопровождается возникновением магнитного поля. Магнитное поле сообщает телу дополнительную инертность – при ускорении затрачивается работа на создание магнитного поля, при торможении –работа против затормаживающих сил индукционного происхождения. По отношению к движущемуся заряду электромагнитное поле является средой, неотделимой от заряда.

В общем случае можно записать, что полный импульс равен сумме механического и электромагнитного импульсов; возможно, что другие поля вносят и иные вклады в полную массу частицы, но, определенно, в полной массе есть электромагнитная часть:

, .

Если учесть релятивистские эффекты сокращения длины и преобразования электрических и магнитных полей, то для электромагнитного импульса получается также релятивистски инвариантная формула:

Таким же образом изменяется релятивистский механический импульс.

- количественная характеристика эл.-магн. взаимодействия. Величина Э. э. п. может быть установлена на основании измерения работы, производимой эл.-магн. полем ( Лоренца силой )над носителями электрич. зарядов. Из определения напряжённости электрич. поля Е и индукции магн. поля В следует выражение для работы р, совершаемой над движущимися зарядами в единичном объёме в единицу времени:

В (1) -вектор плотности электрич. тока; u a - распределённого пространств. заряда сорта a, имеющего r a ; суммирование производится по всем сортам пространств. зарядов (электронные заряды в металлах и вакууме, ионные заряды в газах и электролитах; связанные пространств. заряды, входящие в состав нейтральных молекул диэлектриков и магнетиков, и т. д.), участвующих во взаимодействии с эл.-магн. полем.

Формально из Максвелла уравнений, применённых к вакууму (E=D, В = Н - используется Гаусса система единиц), связывающих векторы эл.-магн. поля Е , D , Н , В сплотностями электрич. зарядов r и токов j , следует соотношение

( Пойнтинга теорема), где скалярная величина

интерпретируется как плотность Э. э. п., вектор

Как плотность потока Э. э. п. (Пойнтинга вектор). При этом ур-ние (2) приобретает смысл закона изменения Э. э. п.

Интегрирование ур-ния (2) по произвольному объёму V даёт

где -Э. э. п. в объёме V ; -поток

Э. э. п., вытекающий из объёма V через ограничивающую его S; n -наружная нормаль к поверхности; -мощность, развиваемая эл.-магн. полем при взаимодействии с зарядами и токами, находящимися в объёме V.

Наличие мощности Р в законе изменения Э. э. п. (2*) означает, что эл.-магн. может обмениваться энергией с материальными телами, изменяя их внутреннюю (тепловую) и механич. энергии. Примерами передачи Э. э. п. материальным телам могут служить нагрев проводников при протекании электрич. тока (джоулев нагрев) и понде-ромоторное (механическое) воздействие эл.-магн. поля на помещённые в него , магнетики и с током (см. Пондеромоторные силы). Обратный процесс ( эл.-магн. поля) имеет место, напр., в генераторах эл.-магн. поля (в частности, в динамо-машинах).

При рассмотрении эл.-магн. взаимодействия в среде, характеризуемой наличием связанных зарядов r св и обусловленных их движением электрич. токов j св , принято в плотности мощности р выделять часть p cв =j св E , расходуемую на поляризацию и среды. Соответствующую плотность работы включают в "вакуумную" плотность Э. э. п. (3), в результате первое слагаемое в левой части (2) приобретает вид

Возможность интерпретировать (4) как изменение плотности Э. э. п. в единицу времени существенно зависит от характера материальных отношений (связи векторов D и В с Е и Н ), присущих данной среде.

Для сред, в к-рых значения D и В в произвольной точке пространства в данный момент времени являются однозначными ф-циями значений Е и Н в той же точке пространства и в тот же момент времени, причём D = D (E ), В = В ( Н ), (4) можно рассматривать как изменение плотности Э. э. п.

имеющей точный термодинамич. смысл: это есть разность между внутренними энергиями единичного объёма вещества при наличии и отсутствии поля при тех же плотности и энтропии (либо изменение плотности свободной энергии вещества, связанное с возникновением поля, при условии постоянства плотности и темп-ры). В частности, для линейной изотропной среды в отсутствие дисперсии и поглощения (D = eE , В = m Н , e = e* = const, m = m* =const) (3*) принимает вид

В случае поглощающей среды единая энергетич. интерпретация отд. членов ур-ния (2) и выражения (4), основанная на материальных соотношениях общего вида, невозможна, а термодинамич. понятия (внутренняя и свободная энергия), строго говоря, неприменимы. Для отыскания Э. э. п. в диссипативных средах приходится использовать конкретные модели среды.

Сказанное относится и к средам с дисперсией, т. к. в силу Крамерса - Кронига соотношений диспергирующая среда является, вообще говоря, и поглощающей. Однако для широкого круга реальных физ. условий, позволяющих пренебречь диссипацией Э. э. п., выражение для плотности Э. э. п. может быть идентифицировано без привлечения микроскопич. теории среды.

Это удаётся сделать для эл.-магн. квазимонохроматич. полей [полей частоты со с медленно изменяющимися во времени амплитудами Е 0 (t), H 0 . (t )

в линейной среде. Средняя за период (2 p/w) плотность Э. э. п. имеет вид

где e ik , m ik - матричные тензоров диэлектрич. и магн. проницаемостей среды, E i , E k , H i , H k - проекции векторов Е и Н наоси координат, черта сверху означает усреднение по времени за период волны, по дважды встречающемуся индексу производится суммирование.

Плотность Э. э. п. (5) в указанных условиях имеет тот же термодинамич. смысл, что и (3*), (3**) для недиспергирующих бездиссипативных сред. Иначе говоря, в равновесной физ. среде наличие квазимонохроматич. эл.-магн. поля может приводить только к выделению тепла (поглощению Э. э. п.). Отсюда, в частности, следует неотрицательность плотности Э. э. п., даваемой (5), для произвольной равновесной среды. В отличие от этого неравновесная среда (напр., пронизываемая пучком заряж. частиц) под действием эл.-магн. поля может отдавать, а не поглощать тепло, и в такой среде плотность Э. э. п. (5) может принимать отрицат. значения (см., напр., в ст. Волны в плазме).

С квантовой точки зрения эл.-магн. поле представляет собой ансамбль фотонов, каждый из к-рых обладает энергией и импульсом , где w - частота излучения, k - его волновой вектор. Такое представление, необходимое при исследовании взаимодействия поля с квантовыми объектами (напр., с квантовым осциллятором), оказывается также удобным при изучении обмена энергией между полем и классич. заряж. частицами, поглощающими, излучающими и рассеивающими эл.-магн. волны (напр., при рассмотрении Черенкова - Вавилова излучения, тормозного излучения). Плотность энергии фотонного газа, находящегося в термодинамич. равновесии с окружающими материальными телами с темп-рой Т, определяется выражением

здесь а =7,91 10 -15 эрг/К -4 см -3 , темп-pa Т в градусах Кельвина.

Лит.: Тамм И. Е., Основы теории электричества, 10 изд., М., 1989; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988; их же, Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982; Стрэттон Дж. А., Теория электромагнетизма, пер. с англ., М.- Л., 1948; Гинзбург В. Л., Распространение электромагнитных волн в плазме, 2 изд., М., 1967; его же, Теоретическая и астрофизика, 3 изд., М., 1987; Агранович В. М., Гинзбург В. Л., Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов, 2 изд., М., 1979; Леонтович М. А., Введение в термодинамику. Статистическая , М., 1983.

А. М. Фейгин.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ" в других словарях:

Энергия электромагнитного поля энергия, заключенная в электромагнитном поле.[источник?] Сюда же относятся частные случаи чистого электрического и чистого магнитного поля. Содержание 1 Работа электрического поля по перемещению заряда … Википедия

энергия электромагнитного поля - elektromagnetinio lauko energija statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Elektromagnetinės sąveikos kiekybinė charakteristika. atitikmenys: angl. electromagnetic field energy vok. elektromagnetische Feldenergie, f rus. энергия … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

энергия электромагнитного поля - elektromagnetinio lauko energija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. electromagnetic field energy vok. elektromagnetische Feldenergie, f rus. энергия электромагнитного поля, f pranc. énergie de champ électromagnétique, f … Fizikos terminų žodynas

Электромагнитная энергия, энергия, связанная с электромагнитным полем и распределённая в пространстве. Э. э. п. характеризуют объёмной плотностью энергии о) = dW/dV, где dW Э. э. п., заключённая в малом объёме dV вблизи рассматриваемой точки поля …

У этого термина существуют и другие значения, см. Энергия (значения). Энергия, Размерность … Википедия

- (от греч. energeia действие, деятельность) общая мера раэл. форм движения материи. Для количеств. хар ки качественно разл. форм движения и соответствующих им взаимодействий вводят разл. виды Э.: механич., внутреннюю, гравитац., электромагнитную,… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами П. ф. могут служить электромагнитное и гравитационное поля, поле ядерных сил, а также волновые (квантованные) поля, соответствующие … Большая советская энциклопедия

Энергией называется общая количественная мера различных форм движения материи , амощностью называется работа, производимая в единицу времени .

Электромагнитное поле обладает энергией, значит, ее можно определить. При этом векторы поля и электродинамические характеристики средысчитаем известными.

4.1. Баланс энергии электромагнит­ного поля

Вначале сформулируем уравнение баланса энергии в общем виде. Для этого рассмотрим объем V , заполненный однородной изо­тропной средой и ограни­ченный поверхностью S . Пусть в этом объеме за счет действия сторонних источни­ков выделяется электромаг­нитная энергия. Очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходо­ваться на потери в среде, на изменение запаса энергии внутри объема и на излучение в окружающую среду через поверхность S . При этом должно выполняться следующее равенство:

Уравнение (4.1) дает качественное представление об энергетических соотношениях в электромагнитном поле. Для определения количественных характеристик воспользуемся уравнениями Максвелла.

Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних токов из системы (2.23). Все члены этого уравнения - вектор­ные величины, имеющие размерность ампер на квадратный метр (А/м 2). Чтобы сравнить его с уравнением (4.1) нужно преобразовать все слагаемые в скалярные величины, измеряющиеся в ваттах. Для этого до­статочно скалярно умножить их на вектор Е ипроинтегрировать полученное выражение по объему V . После скалярного умножения получим:

Подставим это выражение в формулу (4.2) и перенесем произведение вектора напряженности электрического поля на вектор плотности сторонних токов в левую часть, а все остальные слагаемые – в правую. Кроме того, с помощью второго уравнения Максвелла заменим rot Е на производную по времени от вектора магнитной индукции с обратным знаком и с помощью формул (1.9), (1.14) выразим векторы индукции через соответствующие векторы напряженности поля и проницаемости. Получим:

В преобразовании уравнения (4.6) использована теорема Остроградского-Гаусса (1.33) . Кроме того, в последнем слагаемом правой части уравнения изменен порядок операций интегри­рования и дифференцирования.

Левая часть уравнения (4.6) определяет мощность, отдаваемую сторонними токами в объеме V . Сторонний ток проводимости – это упорядоченное движение заряженных частиц. Для простоты положим, что векторы напряженности электрического поля и плотности сторонних токов коллинеарны. Если частицы тормозятся полем, ток отдает ему свою энергию. Для этого требуется, чтобы векторы напряженности электрического поля и плотности стороннего тока были направлены про­тивоположно. Значит, скалярное произведе­ние векторов Е и J ст будет отрицательным и левая часть уравнения (4.5) станет положительной величиной. Такая ситуация характерна для работы некоторых передающих антенн.

Если векторы плотности стороннего тока и напряженности электрического поля направлены в одну сторону, заряженные частицы будут ускоряться полем, и ток станет отбирать у него энергию. Эту процедуру осуществляют разного рода приемные антенны, однако энергия, которую они могут отнять у поля в свободном пространстве, невелика.

Иначе обстоит дело в волноводах, которые служат для передачи энергии от источника к потребителю. На входном конце волновода сторонние силы реализуют процедуру возбуждения поля. Когда энергия достигает конца волновода, ее надо полностью отобрать у поля и передать потребителю. Для этого используются приемные устройства, преобразующие энергию электрической или магнитной составляющей поля в ток проводимости и передающие его дальше. В этом случае требуется отбирать у поля максимум энергии.

Реальная среда всегда обладает электропроводностью. Поэтому, зная напряженность электрического поля и электропроводность среды, можно найти мощность тепловых потерь, т. е. энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени.

Обратимся к рис. 4.1, на котором изображена картина линий вектора плотности тока проводимости. В объеме протекания тока выделена цилиндрическая область V . Этот цилиндр имеет длину l и площадь основания S , а ось его совпадает с направлением вектора плотности тока проводимости. Для упрощения решения задачи область должна быть так мала, чтобы вектор плотности тока внутри нее можно было бы считать не зависящим от координат. В этом случае в соответствии с первым слагаемым правой части формулы (4.6) получим:

Так как плотность тока проводимости и напряженность поля не зависят от координат, они вынесены из-под знака интеграла. Там остался только скалярный дифференциал объема. Его интегрирование по объему дает величину объема. В средней части формулы (4.7) объем цилиндра представлен как произведение площади его основания S на длину l , а параллельные векторы плотности тока и напряженности поля заменены их модулями. Ток I в последней части формулы определен как произведение площади основания цилиндра на плотность тока, а напряжение U – как произведение длины цилиндра на напряженность электрического поля.

Равенство (4.7) эквивалентно закону Джоуля - Ленца .

Для выяснения физического смысла последнего слагаемого в правой части уравнения (4.6) рассмотрим частный случай. Предположим, что объем V окружен идеальной проводящей оболочкой, совпадающей с поверхностью S . Такая оболочка блокирует обмен энергией с внешней средой, и объем становится энергетически изолированным . В этом случае тангенциальная (касательная) составляющая напря­женности электрического поля на поверхности S будет равна нулю. Векторный дифференциал поверхности dS совпадает по направлению с ортом внешней нормали n 0 . Следовательно, поверхностный интеграл в уравнении (4.6) будет равен нулю из-за того, что нормальная компонента вектор­ного произведения [Е, Н] определяется тангенциальными составляю­щими входящих в него векторов.

Предположим, кроме того, что электропроводность среды в объеме V равна нулю. Значит, тепловые потери исчезнут, и первый интеграл в правой части уравнения (4.6) также будет ра­вен нулю. Получим:

Осталось выяснить физическую сущность поверхностного инте­грала в уравнении (4.6). Предположим, что потери внутри объема V отсут­ствуют и, кроме того, величина электромагнитной энергии остаетсяпостоянной. B этом случае уравнение (4.6) примет следующий вид:

Потерь в объеме нет, и запас энергии не меняется, значит, вся мощность сторонних источников должна излучаться в окружающее пространство. Следовательно, поток вектора Пойнтинга П через поверхность S равен излучаемой мощности, которую в уравнении (4.1) мы обозначили Р Σ .

Таким образом, качественное уравнение (4.1) преобразовано в уравнение (4.6) с помощью которого можно проводить количественные оценки составляющих баланса мощности.

Рассмотрим частный случай отбора энергии электромагнитного поля сторонними источниками. Пусть энергия поступает в объем V из окружающего пространства. Часть ее преобразуется в тепло, а другая отбирается сто­ронними источниками. При этом количество электромагнитной энер­гии, запасенной в объеме V , не изменяется. Урав­нение (4.6) в этом случае надо переписать в следующем виде:

Левая часть уравнения (4.11) определяет мощность, поступающую в объем V извне, а правая часть - мощность, расходуемую в этом объеме. Это уравнение было получено Пойнтингом и носит название теоремы Пойнтинга в интегральной форме .

Так как левая часть уравнения (4.11) представляет собой поток энергии, то вектор Пойнтинга является вектором плотности потока энергии . Направление вектора Пойнтинга в изотропной среде совпадает с направлением распространения энергии .

Известно, что при наличии тока в реальной среде выделяется тепло. Зная плотность J и напряженность поля Е, нетрудно определить энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени, т.е. мощность тепловых потерь Р. Оказывается, в объеме V расходуется мощность

Рис. 1.2.

Чтобы убедиться в справедливости записанного выражения, обратимся к простому варианту, который показан на рис. 1.2. Пусть в пределах выделенного цилиндра поле однородно. В этом случае применение формулы (1.10) дает

Полученное равенство эквивалентно закону Джоуля - Ленца, известному из курса общей физики. По смыслу равенства (1.10) подынтегральное выражение

есть не что иное, как плотность мощности, т.е. мощность, отнесенная к единице объема:

В зависимости от направления движения зарядов величина р может быть как положительной, так и отрицательной. Заряды могут ускоряться полем. При этом J и? параллельны, р> 0 и энергия у поля отбирается. Очевидно, что р 0, если J и? антипараллельны. Это будет, например, когда движение зарядов против поля создается каким-то неэлектромагнитным, «сторонним» процессом, который отдает свою энергию полю, тормозящему заряды.

Описание неэлектромагнитных факторов сторонних сил в большинстве случаев сводится к изменению вида материального уравнения. Используется одна из следующих формализаций:

Введенные здесь функции? ст и J CT при решении электродинамических задач являются заранее заданными. Величина?„ называется напряженностью сторонних сил (или просто сторонней напряженностью), a J CT - плотностью стороннего тока.

Теперь можно детализировать выражение плотности мощности (1.11). Используя уравнение (1.13), имеем

Следовательно, можно написать

Первый член р п характеризует поглощение, потери электромагнитного процесса, а второй - р ст - действие сторонних сил. Сторонние силы обычно локализованы. Если, например, они сосредоточены в некоторой области У ъ, то согласно первому равенству (1.13)

Для составления баланса энергии электромагнитного поля используем уравнения Максвелла (1.5), (1.6). Все члены второго из них умножим на Я, а все члены первого - на Е, представив плотность тока как сумму плотностей токов проводимости и смещения:

Вычтем левую и правую части второй строчки из соответствующих частей первой, тогда слева получим выражение Я rot Е-Е rot Я, которое мы свернем, так как оно равно div, В результате будем иметь

Равенству нетрудно придать интегральную форму. С этой целью проинтегрируем все его члены по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S, а затем левую часть преобразуем на основании теоремы Остроградского - Гауса:

Следовательно,

Это равенство (1.17) есть уравнение баланса энергии поля в объеме V. Последний член справа в равенстве (1.17) - это мощность Р, характеризующая преобразование энергии электромагнитного поля в тепло.

Другое слагаемое в этом уравнении представляет собой временную производную запаса энергии в изолированной системе:

Поверхностный интеграл

характеризует мощность, поступающую извне в объем, ограниченный поверхностью S.

через границу S области V.

Поток вектора Пойнтинга П показывает, насколько внутренние процессы неуравновешенны. Если, например, P s >0, то это означает потери энергии в области V из-за ее перехода во внешнее пространство. Если же P s S за единицу времени. Поэтому Р х называют потоком энергии через S. Положительный поток энергии равен, таким образом, мощности излучения во внешнее пространство, а отрицательный - мощности поглощаемого внешнего излучения.

Если допустить, что поток вектора Пойнтинга Р г через любую, а не только замкнутую поверхность (как в уравнении 1.17), представляет собой поток энергии через эту поверхность, то П следует истолковывать как плотность потока энергии:

В этой формуле п 0 - единичный вектор, указывающий направление движения энергии; AS - ортогонально ориентированная площадка; ДР 2 - количество энергии, проходящей за единицу времени через AS. Вернемся к равенству (1.17), переписав его в виде

Равенство (1.18) есть уравнение баланса энергии в дифференциальной форме. Оно характеризует локальный баланс энергии. Если в исчезающе малой окрестности некоторой точки баланс активен, то dw/dt + + Р div П >0. При пассивном балансе dw/dt + Р > 0 и div П dw/dt + Р = 0 и div П = 0. Вспоминая смысл оператора дивергенции, мы видим, что при активном балансе рассматриваемая точка является источником вектора Пойнтинга, при пассивном балансе - стоком, а при нейтральном - лежит на некоторой линии вектора Пойнтинга.

Вопросы для самопроверки

• 1. Правильно ли понимать под электрическим током только движение заряженных частиц или тел?
• 2. Каково значение величины rot Н в однородном магнитном поле?
• 3. Во всех точках некоторой области выполнено уравнение rot Н = 0. Может ли в этой области существовать магнитное поле?
• 4. Является ли функция div D векторной?
• 5. Может ли соленоидальное поле быть вихревым?
• 6. При каких условиях справедливо выражение div Н = О?
• 7. Имеют ли смысл выражения div div A, grad rot A, rot rot A, div rot A, rot div А? Какие из них тождественно равны нулю?